The category of additive commutative groups is preadditive.

instance AddCommGrp.instAddHom {M N : AddCommGrp} : Add (M ⟶ N)

Equations

• AddCommGrp.instAddHom = { add := fun (f g : M ⟶ N) => AddCommGrp.ofHom (AddCommGrp.Hom.hom f + AddCommGrp.Hom.hom g) }

@[simp]

theorem AddCommGrp.hom_add {M N : AddCommGrp} (f g : M ⟶ N) : Hom.hom (f + g) = Hom.hom f + Hom.hom g

theorem AddCommGrp.hom_add_apply {P Q : AddCommGrp} (f g : P ⟶ Q) (x : ↑P) : (CategoryTheory.ConcreteCategory.hom (f + g)) x = (CategoryTheory.ConcreteCategory.hom f) x + (CategoryTheory.ConcreteCategory.hom g) x

instance AddCommGrp.instZeroHom_1 {M N : AddCommGrp} : Zero (M ⟶ N)

Equations

• AddCommGrp.instZeroHom_1 = { zero := AddCommGrp.ofHom 0 }

@[simp]

theorem AddCommGrp.hom_zero {M N : AddCommGrp} : Hom.hom 0 = 0

instance AddCommGrp.instSMulNatHom {M N : AddCommGrp} : SMul ℕ (M ⟶ N)

Equations

• AddCommGrp.instSMulNatHom = { smul := fun (n : ℕ) (f : M ⟶ N) => AddCommGrp.ofHom (n • AddCommGrp.Hom.hom f) }

@[simp]

theorem AddCommGrp.hom_nsmul {M N : AddCommGrp} (n : ℕ) (f : M ⟶ N) : Hom.hom (n • f) = n • Hom.hom f

instance AddCommGrp.instNegHom {M N : AddCommGrp} : Neg (M ⟶ N)

Equations

• AddCommGrp.instNegHom = { neg := fun (f : M ⟶ N) => AddCommGrp.ofHom (-AddCommGrp.Hom.hom f) }

@[simp]

theorem AddCommGrp.hom_neg {M N : AddCommGrp} (f : M ⟶ N) : Hom.hom (-f) = -Hom.hom f

instance AddCommGrp.instSubHom {M N : AddCommGrp} : Sub (M ⟶ N)

Equations

• AddCommGrp.instSubHom = { sub := fun (f g : M ⟶ N) => AddCommGrp.ofHom (AddCommGrp.Hom.hom f - AddCommGrp.Hom.hom g) }

@[simp]

theorem AddCommGrp.hom_sub {M N : AddCommGrp} (f g : M ⟶ N) : Hom.hom (f - g) = Hom.hom f - Hom.hom g

instance AddCommGrp.instSMulIntHom {M N : AddCommGrp} : SMul ℤ (M ⟶ N)

Equations

• AddCommGrp.instSMulIntHom = { smul := fun (n : ℤ) (f : M ⟶ N) => AddCommGrp.ofHom (n • AddCommGrp.Hom.hom f) }

@[simp]

theorem AddCommGrp.hom_zsmul {M N : AddCommGrp} (n : ℕ) (f : M ⟶ N) : Hom.hom (n • f) = n • Hom.hom f

instance AddCommGrp.instAddCommGroupHom (P Q : AddCommGrp) : AddCommGroup (P ⟶ Q)

Equations

• P.instAddCommGroupHom Q = Function.Injective.addCommGroup AddCommGrp.Hom.hom ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

instance AddCommGrp.instPreadditive : CategoryTheory.Preadditive AddCommGrp

Equations

• AddCommGrp.instPreadditive = { homGroup := inferInstance, add_comp := AddCommGrp.instPreadditive._proof_1, comp_add := AddCommGrp.instPreadditive._proof_2 }

def AddCommGrp.homAddEquiv {M N : AddCommGrp} : (M ⟶ N) ≃+ (↑M →+ ↑N)

AddCommGrp.Hom.hom bundled as an additive equivalence.

Equations

• AddCommGrp.homAddEquiv = { toEquiv := CategoryTheory.ConcreteCategory.homEquiv, map_add' := ⋯ }

@[simp]

theorem AddCommGrp.homAddEquiv_symm_apply_hom {M N : AddCommGrp} (a✝ : CategoryTheory.ToHom M N) : Hom.hom (homAddEquiv.symm a✝) = a✝

@[simp]

theorem AddCommGrp.homAddEquiv_apply {M N : AddCommGrp} (a✝ : M ⟶ N) : homAddEquiv a✝ = CategoryTheory.ConcreteCategory.hom a✝